Mersenne-Zahlen und vollkommene Zahlen

er9, https://pixabay.com/photo-2144744/

Auf der Suche nach neuen Primzahlen spielen Mersenne-Zahlen eine große Rolle. Das fazinierende an diesen Zahlen sind ihre Einfachheit. Die n-te Mersenne-Zahl \(M_n\) llässt sich mit der Formel

\(M_n=2^n-1 \)

berechnet. Für die Darstellung im Computer eignen sich diese Zahlen besonders gut, da sie im Dualsystem nur aus Einsen bestehen. Was diese Mersenne-Zahlen jetzt besonders interessant macht ist, dass manche von ihnen prim sind und der Zusammenhang mit vollkommen (perfekten) Zahlen. Aber der Reihe nach. Schauen wir uns mal die ersten Mersenne-Zahlen an:

0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191,…

Zu finden ist diese Zahlenfolge im OEIS als Zahlenfolge A000225. Von diesen ersten Mersenne-Zahlen sind offensichtlich die Zahlen 3, 7, 31, 127, 8191 prim, also die Mersenne-Zahlen mit dem Exponenten 2, 3, 5, 7 und 13. Bisher sind 49 Mersenne-Primzahlen bekannt. Die größte \(2^{82.589.933}-1\) wurde im Dezember 2018 gefunden und hat 24.862.048 Stellen. Wenn man die Exponenten der ersten Mersenne-Primzahlen betrachtet, dann fällt auf, dass sie alle prim sind. Umgekehrt kann man relativ leicht den folgenden Satz beweisen.

Satz
Wenn n eine zusammengesetzte Zahl ist, dann ist auch \(M_n\) eine zusammengesetzte Zahl.

Daraus folgt jetzt, dass der Exponent einer Mersenne-Primzahl eine Primzahl sein muss. Die Umkehrung gilt aber nicht (z.B. \(M_{11}=2047\) ist keine Primzahl). Auf der Suche nach neuen Primzahlen kann man also einfach Mersenne-Zahlen betrachten, deren Exponent eine Primzahl ist. Aus diesem Grund sind die größten zur Zeit bekannten Primzahlen auch Mersenne-Primzahlen. Es gibt aber noch ein paar weitere Eigenschaften von Mersenne-Primzahlen, die die Suche nach ihnen etwas vereinfachen. Bereits Leonhard Euler formulierte den folgenden Satz, aber erst Joseph-Louis Lagrange konnte ihn beweisen.

Satz
Ist p>3 eine Sophie-Germain-Primzahl mit \(p\equiv 3(mod 4)\), dann ist \(2p+1\) ein Teiler der p-ten Mersenne-Zahl.

Auf der Suche nach Mersenne-Primzahlen braucht man somit nur noch Primzahlexponenten zu betrachten, die keine Sophie-Germain-Primzahlen sind (p (prim) ist eine Sophie-Germain-Primzahl, falls auch 2p+1 eine Primzahl ist). Jetzt kann man mit dem Lucas-Lehmer-Test überprüfen, ob die so erhaltenen Mersenne-Zahlen prim sind oder nicht. Dieser Test wurde auch für die Überprüfung des oben genannten Primzahlrekordes verwendet.

Zu den Mersenne-Primzahlen gibt es auch noch einen ganze Reihe offener Fragen. Die erste Frage ist: Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen? Die zweite Frage beschäftigt sich auch mit der Unendlichkeit: Gibt es unendlich viele nicht-prime Mersenne-Zahlen deren Exponent prim ist? Die letzte Frage könnte mit “ja” beantwortet werden, wenn es unendlich viele Sophie-Germain-Primzahlen gibt. Aber auch diese Frage ist heute noch unbeantwortet.

Vollkommene Zahlen

Eine Zahl heißt vollkommen, wenn sie die Summe ihrer echten, nicht negativen Teiler ist. 6 ist zum Beispiel perfekt, da 1+2+3=6 gilt. Die ersten sind fünf perfekten Zahlen \(P_n\) sind:

6, 28, 496, 8128, 33550336,...

In der OEIS sind die perfekten Zahlen hier zu finden. Ein einfacher Test ob eine Zahl eine vollkommene Zahl ist, gibt der Satz von Ruiz.

Satz
Eine gerade Zahl ist genau dann eine vollkommene Zahl, wenn \(\sum_{i=1}^{n-2} i \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor = 1+\sum_{i=1}^{n-1}i \left\lfloor \frac{n-1}{i} \right\rfloor\) gilt.

Bereits Euklid bewies den Zusammenhang von perfekten Zahlen und Mersenne-Primzahlen.

Satz
Ist \(M_n\) eine Mersenne-Primzahl, so ist \(z=2^{n-1}M_n\) vollkommen.

Euler gelang später der Beweis der Umkehrung der Aussage aus vorherigem Satz mit der Einschränkung, dass z gerade ist.

Satz
Ist z vollkommen und gerade, dann ist \(z=2^{n-1}M_n\), mit \(M_n\) prim.

Ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt, ist bis heute nicht klar. Man weiß jedoch, dass eine solche Zahl, wenn es sie denn gäbe, größer als \(10^{300}\) sein müsste und mindestens 11 verschiedene Primteiler haben müsste. Aus dem letzten Satz folgt aber, dass es keine geraden vollkommenen Zahlen gibt außer den aus den Mersenne-Primzahlen gebildeten. Mit jeder neuen Mersenne-Primzahl findet man eine neue gerade vollkommenen Zahl und auch nur damit.

Eine andere interessante Eigenschaft der vollkommenen Zahlen ist, dass die Summe der Kehrwerte ihrer echten Teiler immer zwei ergeben. Seien also \(a_1,a_2,\dots ,a_n\) die Teiler der vollkommenen Zahl z, dann gilt

\[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}= 2\].

Zum Abschluss möchte ich euch noch eine interessante Darstellungen von vollkommenen Zahlen zeigen. Eaton hat 1995 gezeigt, dass alle gerade vollkommene Zahlen in der Form

\[P=1+\frac{9}{2}n(n+1)\]

mit \(n=8j+2\) dargestellt werden können (aber nicht alle natürlichen Zahlen j führen zu vollkommenen Zahlen).


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